Sčítání, přenos, prvočísla
Sčítání se dá napsat dvěma přepínači a ničím jiným. Kde se bity liší, zůstane svár. Kde se shodují, vznikne svar a posune se o patro výš. Opakuj, dokud je co přenášet.
Ten svar je přenos. A přenos drží víc věcí, než se čeká. Všechno na téhle stránce si přepočítej sám.
01 / Sčítačka
Vezmi dvě čísla. Svár je a ^ b, tedy bity, ve kterých se ta dvě čísla neshodnou. Svar je (a & b) << 1, tedy bity, ve kterých se shodnou, posunuté o jedno místo doleva. Svár je nový součet, svar je nový přenos. Opakuj.
Ten počet svarů není ozdoba. Je to mocnina dvojky v kombinačním čísle, které z těch dvou sčítanců vznikne. Věta je z roku 1852 a platí v každé soustavě: přenosy v soustavě o základu p dají mocninu p.
Prvočíselný rozklad součinu je záznam o tom, kolikrát se při sčítání svařovalo. Šev mezi sčítáním a násobením není dojem, je to rovnost.
02 / Mapa
Každé políčko Pascalova trojúhelníku je jedno sčítání: řádek n, políčko k, sčítanci k a n minus k. Obarvi ho podle toho, kolikrát se při tom sčítání svařilo. Modrá znamená ani jednou.
Modrá políčka tvoří Sierpińského trojúhelník. Ten obrázek zná každý, málokdo ví, co je zač: je to seznam dvojic, které jdou sečíst bez jediného přenosu. Celý řádek je modrý jenom u čísel ze samých jedniček, tedy 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127.
03 / Atomy
Násobení se dá dělat taky bez svaru. Je to obyčejné násobení, kterému se vypnou přenosy: posouvej a přičítej svárem. Pak vyjde 3 ⊗ 3 = 5. Pětka je bez přenosu čtverec, tedy není prvočíslo.
Obě soustavy mají jednoznačný rozklad. Táž čísla, jiná operace, jiné atomy. Prvočísla nejsou vlastnost čísel, jsou to atomy jedné konkrétní operace, a když se ta operace změní, změní se s ní.
A dá se to i změřit. Bezpřenosových prvočísel je řídčeji, přesně v poměru ln 2, tedy asi sedm ku desíti. Spočítáno přesně do dvou na jedenašedesátou: poměr je 0,717 a klesá k 0,693.
04 / Zlatý řez
Fibonacci nevzniká ničím jiným než sčítáním. Tak ho pusť dvakrát: jednou s celou sčítačkou, podruhé jenom se svárem, tedy s vypnutým přenosem.
Vlevo to roste zlatým řezem. Vpravo je perioda tři, a to pro každý start, ne jenom pro nulu a jedničku. Důvod je na jeden řádek. Bez přenosu se počítá v charakteristice dvě, kde platí jednoduchá věc:
Rovnice zlatého řezu bez přenosu říká, že x je třetí odmocnina z jedničky. Neroste. Otáčí se o třetinu. Zlatý řez je přesně to, co k té rovnici přidá svar.
05 / Vztah
Zlatý řez má dvojče, druhý kořen té rovnice. S každou mocninou se rozlétnou, jedno do obra a druhé k nule. Jejich součin se nehne. Pořád jednička, jen střídá znaménko.
Na logaritmické ose je to vidět naráz: obě čísla se vzdalují od jedničky přesně stejně, jen na opačné strany. Ta symetrie je ten vztah. A když se ty dvě mocniny dají spolu, vypadnou Lucasova čísla. Když proti sobě, vypadne Fibonacci. Dvě iracionální čísla, a celý zbytek je celé číslo.
Důvod není v tom, jak čísla vypadají. Matice, která dělá další krok Fibonacciho, má determinant minus jedna. Determinant se násobí, takže po n krocích je z něj minus jedna na n. Jeden směr se natáhne, druhý se stlačí, plocha zůstane a jen se obrátí orientace.
Vztah je plocha. Rovnoběžník na dvou sousedních Fibonacciho šipkách má vždycky plochu přesně jedna a uvnitř ani jeden bod mříže. To je Cassiniho identita nakreslená na papíře. S každým dalším krokem je delší a tenčí, a plocha se nehne.
Šipky (5, 3) a (3, 2). Plocha přesně 1, uvnitř ani jeden bod mříže. Pickova věta: nula uvnitř plus čtyři na obvodu děleno dvěma minus jedna.